Как связано изменение потенциальной. Закон сохранения энергии

Лабораторная работа № 3

Тема: "Сохранение механической энергии при движении тела под действием сил тяжести и упругости"

Цель : 1) научиться измерять потенциальную энергию поднятого над землей тела и упруго деформированной пружины;

2) сравнить две величины-уменьшение потенциальной энергии прикрепленного к пружине тела при его падении и увеличение потенциальной энергии растянутой пружины.

Приборы и материалы: 1) динамометр, жесткость пружины которого равна 40 Н/м; 2) линейка измерительная; 3) груз из набора по механике; масса груза равна (0,100 ±0,002) кг; 4) фиксатор; 5) штатив с муфтой и лапкой.

Основные сведения.

Если тело способно совершить работу, то говорят, что оно обладает энергией.

Механическая энергия тела – это скалярная величина, равная максимальной работе, которая может быть совершена в данных условиях.

Обозначается Е Единица энергии в СИ

Кинетическая энергия – это энергия тела, обусловленная его движением.

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела :

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m , движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:

Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел .

Потенциальная энергия – энергия тела, обусловленная взаимным расположением взаимодействующих между собой тел или частей одного тела.

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести (потенциальная энергия тела, поднятого над землёй).

Ep = mgh

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, то есть сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину

Где k – жесткость пружины, х - абсолютное удлинение тела.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему , взаимодействуют между собой только силами тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

A = –(Ep2 – Ep1).

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:

Следовательно Ek2 – Ek1 = –(Ep2 – Ep1) или Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона.

Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией .

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих между собой только консервативными силами, при любых движениях этих тел не изменяется. Происходят лишь взаимные превращения потенциальной энергии тел в их кинетическую энергию, и наоборот, или переход энергии от одного тела к другому.

Е = Ек + Е p = const

Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.

Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Описание установки.

Для работы используется установка, показанная на рисунке. Она представляет собой укрепленный на штативе динамометр с фиксатором 1.

Пружина динамометра заканчивается проволочным стержнем с крючком. Фиксатор (в увеличенном масштабе он показан отдельно - помечен цифрой 2) - это легкая пластинка из пробки (размерами 5 Х 7 X 1,5 мм), прорезанная ножом до ее центра. Ее насаживают на проволочный стержень динамометра. Фиксатор должен перемещаться вдоль стержня с небольшим трением, но трение все же должно быть достаточным, чтобы фиксатор сам по себе не падал вниз. В этом нужно убедиться перед началом работы. Для этого фиксатор устанавливают у нижнего края шкалы на ограничительной скобе. Затем растягивают и отпускают.

Фиксатор вместе с проволочным стержнем должен подняться вверх, отмечая этим максимальное удлинение пружины, равное расстоянию от упора до фиксатора.

Если поднять груз, висящий на крючке динамометра, так, чтобы пружина не была растянута, то потенциальная энергия груза по отношению, например, к поверхности стола равна mgh . При падении груза (опускание на расстояние x = h ) потенциальная энергия груза уменьшится на

Е 1 =mgh

а энергия пружины при ее деформации увеличивается на

Е 2 =kx 2 /2

Порядок выполнения работы

1. Груз из набора по механике прочно укрепите на крючке динамометра.

2. Поднимите рукой груз, разгружая пружину, и установите фиксатор внизу у скобы.

3. Отпустите груз. Падая, груз растянет пружину. Снимите груз и по положению фиксатора измерьте линейкой максимальное удлинение х пружины.

4. Повторите опыт пять раз. Найдите среднее значение h и х

5. Подсчитайте Е 1ср =mgh и Е 2ср =kx 2 /2

6. Результаты занесите в таблицу:

2. Выполняем расчеты по методичке.

Энергия – скалярная величина. В системе СИ единицей измерения энергии является Джоуль.

Кинетическая и потенциальная энергия

Различают два вида энергии – кинетическую и потенциальную.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кинетическая энергия – это энергия, которой тело обладает вследствие своего движения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Потенциальная энергия – это энергия, которая определяется взаимным расположением тел, а также характером сил взаимодействия между этими телами.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли – это энергия, обусловленная гравитационным взаимодействием тела с Землей. Она определяется положением тела относительно Земли и равна работе по перемещению тела из данного положения на нулевой уровень:

Потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием частей тела друг с другом. Она равна работе внешних сил по растяжению (сжатию) недеформированной пружины на величину :

Тело может одновременно обладать и кинетической, и потенциальной энергией.

Полная механическая энергия тела или системы тел равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела (системы тел):

Закон сохранения энергии

Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения энергии:

В случае, когда на тело (или систему тел) действуют внешние силы, например, закон сохранения механической энергии не выполняется. В этом случае изменение полной механической энергии тела (системы тел) равно внешних сил:

Закон сохранения энергии позволяет установить количественную связь между различными формами движения материи. Так же, как и , он справедлив не только для , но и для всех явлений природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что в энергию в природе нельзя уничтожить так же, как и создать из ничего.

В наиболее общем виде закон сохранения энергии можно сформулировать так:

• энергия в природе не исчезает и не создается вновь, а только превращается из одного вида в другой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Между потенциальной энергией системы взаимодействующих тел и консервативной силой, обусловливающей наличие этой энергии, существует вполне определенная связь. Установим эту связь.

1. Если в каждой точке пространства на тело действует консервативная сила, то говорят, что оно находится в потенциальном поле.

2. При изменении положения тела в этом поле потенциальная энергия тела изменяется, при этом консервативная сила совершает вполне определенную работу. Выразим эту работу обычным образом.

Будем полагать, что тело переместилось в произвольном направлении на бесконечно малое расстояние
(рис.25). Тогда

где
- проекция вектора силы на направление. Но
(19.2)

Приравнивая правые части выражений (19.1) и (19.2), получим:
, откуда
. (19.3)

есть производная потенциальной энергии по направлению ; эта величина показывает,насколько быстро изменяется потенциальная энергия вдоль этого направления.

Таким образом, проекция силы на произвольное направление равна по величине и противоположна по знаку производной от потенциальной энергии по этому направлению.

Выясним смысл знака «минус». Если в направлении потенциальная энергия возрастает (> 0), то согласно (19.3)< 0. Это значит, что направление силыобразует с направлениемтупой угол , следовательно, составляющая этой силы, действующая вдоль , противоположна направлению. И наоборот, если< 0, то проекция> 0, угол между силойи направлениемострый, со-

ставляющая этой силы, действующая вдоль , совпадает с направлением.

3. В общем случае потенциальная энергия может изменяться не только в направлении , но и в любом другом направлении. Можно рассматривать, например, изменениявдоль осей,
декартовой системы координат.

Тогда
(19.4)

(значок означает, что беретсячастная производная).

Зная проекции силы
легко найти вектор силы:

. (19.5)

Учитывая (19.4) будем иметь:

. (19.6)

Вектор, стоящий в правой части соотношения (19.6), называется градиентом величины и обозначается
.

Следовательно,

= -
. (19.7)

Консервативная сила, действующая на тело, равна по величине и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии этого тела. Градиент потенциальной энергии – это вектор, указывающий направление быстрейшего возрастания потенциальной энергии и численно равный изменению энергии, приходящемуся на единицу длины этого направления.

При перемещении тела в направлении действия консервативной силы совершаетсямаксимальная работа (так как
=1). Но
. Следовательно, направление силыуказывает направление быстрейшегоуменьшения потенциальной энергии.

20 Графическое представление потенциальной

1. Потенциальная энергия является функцией координат . В некоторых простейших случаях она зависит только от одной координаты (например, в случае поднятого над Землей тела зависит только от высоты). Зависимость потенциальной энергии системы от той или иной координаты может быть представленаграфически.

График, изображающий зависимость потенциальной энергии от соответствующей координаты, называют потенциальной кривой.

Проанализируем одну из возможных потенциальных кривых (рис.26). Кривая (), изображенная на рисунке, показывает, как изменяется потенциальная энергия системы частиц, если одна из частиц перемещается вдоль оси, а все остальные остаются на своих местах. Каждая точка графика дает возможность определитьсистемы, соответствующую координате частицы.

2. По наклону потенциальной кривой можно судить о величине и направлении силы, действующей на частицу вдоль соответствующего направления. Величина и знак проекции этой силы на рассматриваемое направление определяется величиной и знаком тангенса угла наклона касательной к кривойв соответствующих точках; в нашем случае
, (20.1)

так как
.

Таким образом, чем круче идет потенциальная кривая, тем больше сила, действующая на частицу вдоль соответствующего направления. На восходящих участках потенциальной кривой тангенсы углов наклона касательных положительны, следовательно, проекция силы отрицательна. Это значит, что направление силы, действующей вдоль данной оси, противоположно направлению этой оси, сила препятствует удалению частицы из системы (рис.26, точка ).

В точках же, соответствующих нисходящим участкам потенциальной кривой, проекции силы положительны , сила способствует дви-жению частицы вдоль данного направления (точка ). В точках, в которых
=0, сила на частицу не действует (точка).

3. Если же при удалении одной из частиц (в любом направлении) потенциальная энергия системы резко возрастает (потенциальная кривая «взмывает» вверх), то говорят о существовании потенциального барьера. Говорят о высоте барьера и его ширине в соответствую-

щих местах. Так, если частица находится в точке с координатой(рис.26), то ее потенциальная энергия равна
, высота потенциального барьера для нее
, ширина барьера
. Если потенциальный барьер встречается на пути частицы при ее движении, как в положительном, так и в отрицательном направлении выбранной оси, то говорят, что частица находится впотенциальной яме . Форма и глубина потенциальной ямы зависит от природы сил взаимодействия и конфигурации системы.

4. Приведем некоторые примеры. На рис.27 изображена потенци-

альная кривая тела, поднятого над Землей. Как известно, потенциальная энергия такого тела зависит только от одной координаты – высоты : = P .

Проекция силы тяжести на ось равна
.

Знак «минус» означает, что направление силы тяжести противоположно направлению оси. На рис.28 изображена потенциальная кривая тела, скрепленного с пружиной и совершающего колебания. Как видно из рисунка, такое тело находится в потенциальной яме с симметричными стенками. Потенциальная энергия этого тела и проекция силы, действующей на него, равны соответственно:

,
.

Кривая, изображенная на рис.29, характерна для взаимодействия атомов и молекул в твердом теле. Особенностью этой кривой является то, что она асимметрична; один край ее крутой, другой – пологий.

Наконец, кривая на рис.30 характеризует, в первом приближении, потенциальную энергию свободных электронов в металле. Стенки этой ямы почти вертикальны. Это значит, что сила, действующая на электроны на границе металла, весьма велика.

Гладкое горизонтальное дно ямы означает, что на электроны внутри металла сила не действует.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить работу по сжатию пружины железнодорожного вагона на 5 см, если под действием силы
пружина сжимается на

Решение. Пренебрегая массой пружины, можно считать, что при ее сжатии действует только переменная сила давления, равная по величине упругой силе, определяемой по закону Гука
. Работу этой силы при сжатии пружины на 5см надо определить. Считая на малом перемещении
силу постоянной, определим элементарную работу как

.

Здесь коэффициент жесткости пружины равен
.

Всю работу найдем взяв интеграл от
в пределах отх 1 = 0 до

х 2 = 5 см.

После вычислений будем иметь

.

Пример 2. Самолет массы m = 3 т для взлета должен иметь скорость =360км/ч и длину разбега S =600 м. Какова должна быть минимальная мощность мотора, необходимая для взлета самолета? Коэффициент трения k колес о землю равен 0,2. Движение при разгоне самолета считать равноускоренным.

Решение. В задаче требуется определить мгновенную мощность мотора в момент взлета самолета. Она и будет являться той минимальной мощностью, при которой самолет может еще набрать скорость, необходимую для взлета.

.

Силу тяги
определим из уравнения (второй закон динамики)

Ускорение найдем из уравнения равнопеременного движения
;

С учетом сделанных замечаний минимальная мощность равна

.

Пример 3. Скорость реактивного самолета на некотором участке меняется с расстоянием по закону
. Найти работу за промежуток времени (
, если масса самолетаm . В момент времени скорость равна

Решение. Примем, что работа равна разности кинетических энергий в моменты времени и, т.е.
. Необходимо определить закон изменения скорости со временем. Ускорение самолета
Откуда
. После интегрирования и потенцирования последнего выражения получим, что скорость в момент времениравна

Таким образом работа, за заданный промежуток времени, равна

Пример 4. Тело массой m под действием постоянной силы ветра движется прямолинейно, причем зависимость пройденного пути от времени меняется по закону
. Найти работу силы ветра за промежуток времени от 0 доt .

Решение. Работа силы ветра при малом перемещении тела равна

, где перемещение найдем как производную от пути по времени, т.е.
Сила по второму закону динамики равна

Полная работа за промежуток времени от 0 до t равна интегралу от

Пример 5. Шар массой
движется со скоростью
навстречу шару массой
, движущемуся со скоростью
. Найти величину и объяснить причину изменения кинетической энергии системы шаров после неупругого центрального удара.

Решение. Энергия системы шаров до удара

После неупругого удара шары будут двигаться с одинаковой скоростью u , которую найдем, применяя закон сохранения импульса

Энергия системы шаров после удара

.

Убыль кинетической энергии после удара

Изменение кинетической энергии расходуется на деформацию и в конечном счете на нагревание шаров:

Пример 6. Автомобиль массой
, движущийся по горизонтальному участку пути со скоростью
, развивает мощность, равную
. Какую мощность должен развивать автомобиль при движении его в гору с уклоном
с той же скоростью?

Определить крутизну спуска (угол наклона), по которому автомобиль будет идти со скоростью 30 км/час , при выключенном моторе.

Решение. 1) Мощность автомобиля при движении в гору будет определяться силой тяги и скоростью движения

Сила трения определяется как
, где сила нормального давления на наклонной плоскости
. Если считать коэффициент трения одинаковым на всем пути движения, то на горизонтальном участке он равен
. Сила трения может быть найдена из соотношения (при равномерном горизонтальном движении)
, т.е.
и
. Тогда сила трения на наклонной плоскости

Скатывающая сила равна
. С учетом сделанных замечаний мощность автомобиля, движущегося в гору будет равна

Подставим данные задачи

2) При движении под гору при выключенном двигателе сила тяги равна нулю. Действуют только скатывающая сила
и сила трения
С учетом их направления

-
,

откуда

.

Таким образом, крутизна спуска равна
.

Пример 7. Тяжелый шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу, образующему ”мертвую петлю” радиуса R . С какой высоты шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке траектории?

Решение. Дана задача о неравномерно переменном движении материальной точки по окружности. Причем в процессе движения изменяется положение тела по высоте. Такие задачи решаются с применением закона сохранения энергии и составлением уравнения по второму закону динамики для направления нормали. Так как для замкнутой системы энергия остается неизменной, то запишем это в виде
.

Примем за начальное положение шарика начало движения, за конечное – положение в верхней точке траектории. Уровень отсчета высоты установим от поверхности стола.

Энергия шарика в первом положении
, во втором положении
. Следовательно
, откуда

. (1)

Для определения h необходимо знать скорость шарика в верхней точке. При этом учтем, что в верхней точке петли на шарик в общем случае действуют вниз две силы – сила тяжести Р и сила реакции со стороны опоры N . Под действием этих сил шарик движется по окружности, т.е.

При спуске с достаточно большой высоты шарик приобретает такую скорость, что в каждой точке петли давит на желоб с некоторой силой . По третьему закону Ньютона желоб действует на шарик с такой же по величине силойN в противоположную сторону и отжимает его на дугу окружности радиуса R .

По мере уменьшения начальной высоты скорость шарика уменьшается и при некотором значении h становится такой, что он пролетает верхнюю точку петли, лишь касаясь желоба. Для такого предельного случая N = 0 и уравнение второго закона динамики примет вид

или

откуда
(2)

Подставив (2) в (1) и решая последнее уравнение относительно h , получим

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1. Что называется энергией? Что называется кинетической энергией? Что называется потенциальной энергией?

2. Что такое работа? Как вычисляется работа постоянной и переменной силы?

3. Что такое мощность?

4. Какова связь между механической работой и кинетической энергией?

5. Докажите, что сила тяжести является консервативной силой.

6. Какова связь между работой консервативных сил и потенциальной энергией?

7.Что такое нулевой уровень потенциальной энергии? Как он выбирается?

8. Какова связь между потенциальной энергией тела и консервативной силой, действующей на него?

9. Что такое потенциальная яма и потенциальный барьер?

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Савельев И. В. Курс общей физики: в 3 т.; учебное пособие для вузов. т.1: Механика. Молекулярная физика. /И.В. Савельев.-4-е изд. стер.-СПб.: Лань, 2005.

Зисман Г. А. Курс общей физики. Т.1 /Г.А. Зисман, О.М.Тодес.– М.:Наука,1972.

Детлаф А. А. Курс физики: учебное пособие для втузов. /А.А. Детлаф, Б.М. Яворский.-4-е изд., испр.- М.: Высш.шк.,2002.- 718 с.

Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для вузов. /Т.И.Трофимова.- 7-е изд., стер.- М.: Высш. шк., 2001.- 541 с.

Чертов А.Г. Задачник по физике: учебное пособие для втузов./А.Г.Чертов, А.А.Воробьев.- 8-е изд., перераб. и доп.- М.: Физматлит, 2006.- 640 с.

Обозначающего «действие». Можно назвать энергичным человека, который двигается, создает определенную работу, может творить, действовать. Также энергией обладают машины, созданные людьми, живая и мертвая природа. Но это в обычной жизни . Помимо этого, есть строгая наука физика, определившая и обозначившая многие виды энергии – электрическую, магнитную, атомную и пр. Однако сейчас речь пойдет о потенциальной энергии, которую нельзя рассматривать в отрыве от кинетической.

Кинетическая энергия

Этой энергией, согласно представлениям механики обладают все тела, которые взаимодействуют друг с другом. И в данном случае речь идет о движении тел.

Потенциальная энергия

A=Fs=Fт*h=mgh, или Eп=mgh, где:
Eп - потенциальная энергия тела,
m - масса тела,
h - высота тела над поверхностью земли,
g - ускорение свободного падения.

Два вида потенциальной энергии

У потенциальной энергии различается два вида:

1. Энергия при взаимном расположении тел. Такой энергией обладает подвешенный камень. Интересно, но потенциальной энергией обладают и обычные дрова или уголь. В них содержится не окисленный углерод, который может окислиться. Если сказать проще, сгоревшие дрова потенциально могут нагреть воду.

2. Энергия упругой деформации. Для примера здесь можно привести эластичный жгут, сжатую пружину или система «кости-мышцы-связки».

Потенциальная и кинетическая энергия взаимосвязаны. Они могут переходит друг в друга. К примеру, если подбросить камень вверх, при движении сначала он обладает кинетической энергией . Когда он достигнет определенной точки, то на мгновение замрет и получит потенциальную энергию, а затем гравитация потянет его вниз и снова возникнет кинетическая энергия.

Энергия взаимодействия тел. Потенциальной энергией тело само по себе не может обладать. определяется силой, действующей на тело со стороны другого тела. Поскольку взаимодействующие тела равноправны, то потенциальной энергией обладают только взаимодействующие тела.

A = Fs = mg (h 1 - h 2 ).

Теперь рассмотрим движение тела по наклонной плоскости. При перемещении тела вниз по наклонной плоскости сила тяжести совершает работу

A = mgscosα .

Из рисунка видно, что s cosα = h , следовательно

А = mg h .

Выходит, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела.

Равенство A = mg (h 1 - h 2 ) можно записать в виде A = - (mg h 2 - mgh 1 ).

Т. е. работа силы тяжести при перемещении тела массой m из точки h 1 в точку h 2 по любой траектории равна изменению некоторой физической величины mgh с противоположным знаком.

Пусть тело, на которое действует центральная сила направленная по радиусу от силового центра О (рис. 116), перемещается из точки 1 в точку 2 по некоторой кривой. Разобьем весь путь, на маленькие участки так, чтобы силу в пределах каждого участка можно было считать постоянной. Работа силы на таком участке

Но как видно из рис. 116, есть проекция элементарного перемещения на направление радиуса-вектора проведенного из силового центра: Таким образом, - работа на отдельном участке равна произведению силы на изменение расстояния до силового центра. Суммируя работы на всех участках, убеждаемся, что работа сил поля при перемещении тела из точки I в точку 2 равна работе по перемещению вдоль радиуса из точки I в точку 3 (рис. 116). Итак, эта работа определяется только начальным и конечным расстояниями тела от силового центра и не зависит от формы пути, что и доказывает потенциальный характер любого центрального поля.

Рис. 116. Работа сил центрального поля

Потенциальная энергия в поле тяготения. Чтобы получить явное выражение для потенциальной энергии тела в некоторой точке поля, нужно рассчитать работу при перемещении тела из этой точки в другую, потенциальная энергия в которой принимается равной нулю. Приведем выражения для потенциальной энергии в некоторых важных случаях центральных полей.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия точечных масс и М или тел со сферически-симметричным распределением масс, центры которых находятся на расстоянии друг от друга, дается выражением

Разумеется, об этой энергии можно говорить и как о потенциальной энергии тела массы в поле тяготения, создаваемом телом массы М. В выражении (5) потенциальная энергия принята равной нулю при бесконечно большом расстоянии между взаимодействующими телами: при

Для потенциальной энергии тела массы в поле тяготения Земли удобно видоизменить формулу (5) с учетом соотношения (7) из § 23 и выразить потенциальную энергию через ускорение свободного падения поверхности Земли и радиус Земли

Если высота тела над поверхностью Земли мала по сравнению с радиусом Земли то, подставляя в в виде и используя приближенную формулу можно преобразовать формулу (6) следующим образом:

Первое слагаемое в правой части (7) можно опустить, так как оно постоянно, т. е. не зависит от положения тела. Тогда вместо (7) имеем

что совпадает с формулой (3), полученной в приближении «плоской» Земли для однородного поля тяжести. Подчеркнем, однако, что в отличие от (6) или (7) в формуле (8) потенциальная энергия отсчитывается от поверхности Земли.

Задачи

1. Потенциальная энергия в поле тяготения Земли. Чему равна потенциальная энергия тела на поверхности Земли и на бесконечно большом расстоянии от Земли, если принять ее равной нулю в центре Земли?

Решение. Чтобы найти потенциальную энергию тела на поверхности Земли при условии, что она равна нулю в центре Земли, нужно рассчитать работу, совершаемую силой тяготения при мысленном перемещении тела с поверхности Земли в ее центр. Как было выяснено ранее (см. формулу (10) § 23), действующая на находящееся в глубине Земли тело сила тяготения пропорциональна его расстоянию от центра Земли, если считать Землю однородным шаром с одинаковой всюду плотностью:

Для вычисления работы весь путь от поверхности Земли до ее центра разбиваем на малые участки, на протяжении которых силу можно считать постоянной. Работа на отдельном малом участке изображается на графике зависимости силы от расстояния (рис. 117) площадью узкой заштрихованной полоски. Эта работа положительна, так как направления силы тяжести и перемещения совпадают. Полная работа , очевидно,

изображается площадью треугольника с основанием и высотой

Значение потенциальной энергии на поверхности Земли равно работе, даваемой формулой (9):

Для того чтобы найти значение потенциальной энергии на бесконечно большом расстоянии от Земли, следует учесть, что разность потенциальных энергий на бесконечности и на поверхности Земли равна, в соответствии с (6), и не зависит от того, где выбран нуль потенциальной энергии. Именно такую величину нужно прибавить к значению (10) потенциальной энергии на поверхности, чтобы получить искомое значение на бесконечности:

2. График потенциальной энергии. Постройте график потенциальной энергии тела массы в поле тяготения Земли, считая ее однородным шаром.

Решение. Примем для определенности значение потенциальной энергии в центре Земли равным нулю.

Рис. 117. К расчету потенциальной энергии

Рис. 118. График потенциальной энергии

Для любой внутренней точки, находящейся на расстоянии от центра Земли, потенциальная энергия рассчитывается так же, как и в предыдущей задаче: как следует из рис. 117, она равна площади треугольника с основанием и высотой Таким образом,

Для построения графика потенциальной энергии при где сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 117), следует воспользоваться формулой (6). Но в соответствии со сделанным выбором точки отсчета потенциальной энергии к значению, даваемому

мулой (6), следует прибавить постоянную величину Поэтому

Полный график показан на На участке от центра Земли до ее поверхности он представляет собой отрезок параболы (12), минимум которой расположен при Такую зависимость иногда называют «квадратичной потенциальной ямой». На участке от поверхности Земли до бесконечности график представляет собой отрезок гиперболы (13). Эти отрезки параболы и гиперболы плавно, без излома, переходят друг в друга. Ход графика соответствует тому, что в случае сил притяжения потенциальная энергия возрастает при увеличении расстояния.

Энергия упругой деформации. К потенциальным силам относятся также и силы, возникающие при упругой деформации тел. В соответствии с законом Гука эти силы пропорциональны деформации. Поэтому потенциальная энергия упругой деформации квадратично зависит от деформации. Это становится сразу ясным, если учесть, что зависимость силы от смещения из положения равновесия здесь такая же, как и у рассмотренной выше силы тяжести, действующей на тело внутри однородного массивного шара. Например, при растяжении или сжатии на упругой пружины жесткости к, когда действующая сила потенциальная энергия дается выражением

Здесь принято, что в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю.

Потенциальная энергия в каждой точке силового поля имеет определенное значение. Поэтому она может служить характеристикой этого поля. Таким образом, силовое поле можно описать, задавая либо силу в каждой точке, либо значение потенциальной энергии. Эти способы описания потенциального силового поля эквивалентны.

Связь силы и потенциальной энергии. Установим связь этих двух способов описания, т. е. общее соотношение между силой и изменением потенциальной энергии. Рассмотрим перемещение тела между двумя близкими точками поля. Работа сил поля при этом перемещении равна. С другой стороны, эта работа равна разности значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках перемещения т. е. взятому с обратным знаком изменению потенциальной энергии. Поэтому

Левую часть этого соотношения можно записать в виде произведения проекции силы на направление перемещения и модуля этого перемещения Отсюда

Проекция потенциальной силы на произвольное направление может быть найдена как взятое с обратным знаком отношение изменения потенциальной энергии при малом перемещении вдоль этого направления к модулю перемещения.

Эквипотенциальные поверхности. Обоим способам описания потенциального поля можно сопоставить наглядные геометрические образы - картины силовых линий или эквипотенциальных поверхностей. Потенциальная энергия частицы в силовом поле является функцией ее координат. Приравнивая постоянной величине, получаем уравнение поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия имеет одно и то же значение. Эти поверхности равных значений потенциальной энергии, называемые эквипотенциальными, дают наглядную картину силового поля.

Сила в каждой точке направлена перпендикулярно проходящей через эту точку эквипотенциальной поверхности . Это легко увидеть с помощью формулы (15). В самом деле, выберем перемещение вдоль поверхности постоянной энергии . Тогда, следовательно, равна нулю проекция силы на поверхность Так, например, в гравитационном поле, создаваемом телом массы М со сферически-симметричным распределением масс, потенциальная энергия тела массы дается выражением Поверхности постоянной энергии такого поля представляют собой сферы, центры которых совпадают с силовым центром.

Действующая на массу сила перпендикулярна эквипотенциальной поверхности и направлена к силовому центру. Проекцию этой силы на радиус, проведенный из силового центра, можно найти из выражения (5) для потенциальной энергии с помощью формулы (15):

что при дает

Полученный результат подтверждает приведенное выше без доказательства выражение для потенциальной энергии (5).

Наглядное представление о поверхностях равных значений потенциальной энергии можно составить на примере рельефа пересеченной

местности. Точкам земной поверхности, находящимся на одном горизонтальном уровне, соответствуют одинаковые значения потенциальной энергии поля тяготения. Эти точки образуют непрерывные линии. На топографических картах такие линии называются горизонталями. По горизонталям легко восстановить все черты рельефа: холмы, впадины, седловины. На крутых склонах горизонтали идут гуще, ближе друг к другу, чем на пологих. В этом примере равным значениям потенциальной энергии соответствуют линии, а не поверхности, так как здесь речь идет о силовом поле, где потенциальная энергия зависит от двух координат (а не от трех).

Объясните различие между потенциальными и непотенциальными силами.

Что такое потенциальная энергия? Какие силовые поля называются потенциальными?

Получите выражение (2) для работы силы тяжести в однородном поле Земли.

С чем связана неоднозначность потенциальной энергии и почему эта неоднозначность никак не сказывается на физических результатах?

Докажите, что в потенциальном силовом поле, где работа при перемещении тела между любыми двумя точками не зависит от формы траектории, работа при перемещении тела по любому замкнутому пути равна нулю.

Получите выражение (6) для потенциальной энергии тела массы в поле тяготения Земли. Когда справедлива эта формула?

Как зависит потенциальная энергия в поле тяготения Земли от высоты над поверхностью? Рассмотрите случаи, когда высота мала и когда она сравнима с радиусом Земли.

Укажите на графике зависимости потенциальной энергии от расстояния (см. рис. 118) область, где справедливо линейное приближение (7).

Вывод формулы для потенциальной энергии. Чтобы получить формулу (5) для потенциальной энергии в центральном поле тяготения, нужно вычислить работу сил поля при мысленном перемещении тела массы из данной точки в бесконечно удаленную точку. Работа в соответствии с формулой (4) § 31, выражается интегралом от силы вдоль траектории, по которой перемещается тело. Так как эта работа не зависит от формы траектории, вычислять интеграл можно для перемещения по радиусу, проходящему через интересующую нас точку;

1. С понятием энергии вы познакомились в курсе физики 7 класса. Вспомним его. Предположим, что некоторое тело, например тележка, съезжает с наклонной плоскости и передвигает лежащий у ее основания брусок. Говорят, что тележка совершает работу. Действительно, она действует на брусок с некоторой силой упругости и брусок при этом перемещается.

Другой пример. Водитель автомобиля, движущегося с некоторой скоростью, нажимает на тормоз, и автомобиль спустя какое‑то время останавливается. В этом случае также автомобиль совершает работу против силы трения.

Говорят, что если тело может совершить работу, то оно обладает энергией .

Энергию обозначают буквой E . Единица энергии в СИ - джоуль (1 Дж ).

2. Различают два вида механической энергии - потенциальная и кинетическая.

Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия тел или частей тела, зависящую от их взаимного положения.

Потенциальной энергией обладают все взаимодействующие тела. Так, любое тело взаимодействует с Землей, следовательно, тело и Земля обладают потенциальной энергией. Частицы, из которых состоят тела, тоже взаимодействуют между собой, и они также обладают потенциальной энергией.

Поскольку потенциальная энергия - это энергия взаимодействия, то она относится не к одному телу, а к системе взаимодействующих тел. В том случае, когда мы говорим о потенциальной энергии тела, поднятого над Землей, систему составляют Земля и поднятое над ней тело.

3. Выясним, чему равна потенциальная энергия тела, поднятого над Землей. Для этого найдем связь между работой силы тяжести и изменением потенциальной энергии тела.

Пусть тело массой m падает с высоты h 1 до высоты h 2 (рис. 72). При этом перемещение тела равно h = h 1 – h 2 . Работа силы тяжести на этом участке будет равна:

A = F тяж h = mgh = mg (h 1 – h 2), или
A = mgh 1 – mgh 2 .

Величина mgh 1 = E п1 характеризует начальное положение тела и представляет собой его потенциальную энергию в начальном положении, mgh 2 = E п2 - потенциальная энергия тела в конечном положении. Формулу можно переписать следующим образом:

A = E п1 – E п2 = –(E п2 – E п1).

При изменении положения тела изменяется его потенциальная энергия. Таким образом,

работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Знак «минус» означает, что при падении тела сила тяжести совершает положительную работу, а потенциальная энергия тела уменьшается. Если тело движется вверх, то сила тяжести совершает отрицательную работу, а потенциальная энергия тела при этом увеличивается.

4. При определении потенциальной энергии тела необходимо указывать уровень, относительно которого она отсчитывается, называемый нулевым уровнем .

Так, потенциальная энергия мяча, пролетающего над волейбольной сеткой, относительно сетки имеет одно значение, а относительно пола спортзала - другое. При этом важно, что разность потенциальных энергий тела в двух точках не зависит от выбранного нулевого уровня. Это означает, что работа, совершенная за счет потенциальной энергии тела, не зависит от выбора нулевого уровня.

Часто за нулевой уровень при определении потенциальной энергии принимают поверхность Земли. Если тело падает с некоторой высоты на поверхность Земли, то работа силы тяжести равна потенциальной энергии: A = mgh .

Следовательно, потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту над нулевым уровнем, равна работе силы тяжести при падении тела с этой высоты до нулевого уровня.

5. Потенциальной энергией обладает любое деформированное тело. При сжатии или растяжении тела оно деформируется, изменяются силы взаимодействия между его частицами и возникает сила упругости.

Пусть правый конец пружины (см. рис. 68) перемещается из точки с координатой Dl 1 в точку с координатой Dl 2 . Напомним, что работа силы упругости при этом равна:

A =– .

Величина = E п1 характеризует первое состояние деформированного тела и представляет собой его потенциальную энергию в первом состоянии, величина = E п2 характеризует второе состояние деформированного тела и представляет собой его потенциальную энергию во втором состоянии. Можно записать:

A = –(E п2 – E п1), т. е.

работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины, взятому с противоположным знаком.

Знак «минус» показывает, что в результате положительной работы, совершенной силой упругости, потенциальная энергия тела уменьшается. При сжатии или растяжении тела под действием внешней силы его потенциальная энергия увеличивается, а сила упругости совершает отрицательную работу.

Вопросы для самопроверки

1. Когда можно сказать о том, что тело обладает энергией? Какова единица энергии?

2. Какую энергию называют потенциальной?

3. Как вычислить потенциальную энергию тела, поднятого над Землей?

4. Зависит ли потенциальная энергия тела, поднятого над Землей, от нулевого уровня?

5. Как вычислить потенциальную энергию упруго деформированного тела?

Задание 19

1. Какую работу надо совершить, чтобы переложить пакет с мукой массой 2 кг с полки, находящейся на высоте 0,5 м относительно пола, на стол, находящийся на высоте 0,75 м относительно пола? Чему равны относительно пола потенциальная энергия пакетас мукой, лежавшего на полке, и его потенциальная энергия тогда, когда он находится на столе?

2. Какую работу надо совершить, чтобы пружину жесткостью 4 кН/м перевести в состояние 1 , растянув ее на 2 см? Какую дополнительную работу надо совершить, чтобы перевести пружину в состояние 2 , растянув ее еще на 1 см? Чему равно изменение потенциальной энергии пружины при ее переводе в состояние 1 и из состояния 1 в состояние 2 ? Чему равна потенциальная энергия пружины в состоянии 1 и в состоянии 2 ?

3. На рисунке 73 приведен график зависимости силы тяжести, действующей на мяч, от высоты подъема мяча. Вычислите, пользуясь графиком, потенциальную энергию мяча на высоте 1,5 м.

4. На рисунке 74 приведен график зависимости удлинения пружины от действующей на нее силы. Чему равна потенциальная энергия пружины при удлинении 4 см?