Лекция 2.6.
Энергия взаимодействия зарядов
Рассмотрим систему из двух точечных зарядов. Энергию взаимодействия можно трактовать как энергию первого заряда в поле второго (cм.(2.1.3))
Поскольку оба представления равноправны, энергию взаимодействия этих зарядов можно записать следующим образом
где - i -тый точечный заряд системы, - потенциал поля, созданного всеми остальными зарядами системы, кроме i -того, в точке расположения заряда .
Если заряды распределены непрерывно, то, представляя систему зарядов как совокупность элементарных зарядов и переходя к интегрированию, получим выражение
где - энергия взаимодействия друг с другом элементарных зарядов первого шарика, - энергия взаимодействия друг с другом элементарных зарядов второго шарика, - энергия взаимодействия элементарных зарядов первого шарика с элементарными зарядами второго шарика. Энергии и называют собственными энергиями зарядов и . Энергию называют энергией взаимодействия зарядов и .
Энергия уединенного проводника и конденсатора
Пусть проводник имеет заряд и потенциал . Энергия проводника . Поскольку проводник является эквипотенциальной областью, то потенциал выносится из-под знака интеграла. Окончательно
Энергия конденсатора.
Пусть и - заряд и потенциал положительно заряженной обкладки, а и - соответственно отрицательной. Тогда энергия конденсатора с учетом и запишется
Энергия электрического поля.
Физический смысл энергии конденсатора это не что иное, как энергия электрического поля сосредоточенного внутри него . Получим выражение для энергии плоского конденсатора через напряженность. Будем пренебрегать краевыми эффектами. Воспользуемся формулой , и выражением для емкости плоского конденсатора .
Подынтегральное выражение здесь имеет смысл энергии, заключенной в объеме. Это подводит к важной идее о локализации энергии в самом поле.
Это предположение находит подтверждение в области переменных полей. Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн, которые переносят энергию.
Таким образом, носителем энергии является само поле .
Анализируя последнее выражение, можем ввести объемную плотность энергии, т.е. энергии, заключенной в единице объема
. | (2.6.9) |
Мы получили (2.6.8) и (2.6.9) в частном случае однородного, изотропного диэлектрика в однородном электрическом поле. В этом случае векторы и сонаправлены и можно записать
Потенциальная энергия взаимодействия системы точечных зарядов и полная электростатическая энергия системы зарядов
Анимация
Описание
Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся в вакууме на расстоянии r 12 друг от друга можно вычислить по:
(1)
Рассмотрим систему, состоящую из N точечных зарядов: q 1 , q 2 ,..., q n .
Энергия взаимодействия такой системы равна сумме энергий взаимодействия зарядов взятых попарно:
. (2)
В формуле 2 суммирование производится по индексам i и k (i № k ). Оба индекса пробегают, независимо друг от друга, значения от 0 до N . Слагаемые, для которых значение индекса i совпадает со значением индекса k не учитываются. Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды. Формулу (2) можно представить в виде:
, (3)
где j i - потенциал в точке нахождения i -го заряда, создаваемый всеми остальными зарядами:
.
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, вычисляемая по формуле (3), может быть как положительной, так и отрицательной. Например она отрицательная для двух точечных зарядов противоположного знака.
Формула (3) определяет не полную электростатическую энергию системы точечных зарядов, а только их взаимную потенциальную энергию. Каждый заряд q i , взятый в отдельности обладает электрической энергией. Она называется собственной энергией заряда и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия не учитывается в формуле (3). Учитывается только работа затрачиваемая на сближение зарядов q i , но не на их образование.
Полная электростатическая энергия системы точечных зарядов учитывает также работу, на образование зарядов q i из бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. Полная электростатическая энергия системы зарядов всегда положительная. Это легко показать на примере заряженного проводника. Рассматривая заряженный проводник как систему точечных зарядов и учитывая одинаковое значение потенциала в любой точке проводника, из формулы (3) получим:
Эта формула дает полную энергию заряженного проводника, которая всегда положительна (при q>0 , j >0 , следовательно W>0 , если q<0 , то j <0 , но W>0 ).
Временные характеристики
Время инициации (log to от -10 до 3);
Время существования (log tc от -10 до 15);
Время деградации (log td от -10 до 3);
Время оптимального проявления (log tk от -7 до 2).
Диаграмма:
Технические реализации эффекта
Техническая реализация эффекта
Для наблюдения энергии взаимодействия системы зарядов достаточно подвесить на ниточках на расстоянии порядка 5 см друг от друга два легких проводящих шарика и зарядить их от расчески. Они отклонятся, то есть повысят свою потенциальную энергию в поле земного тяготения, что и делается за счет энергии их электростатического взаимодействия.
Применение эффекта
Эффект настолько фундаментален, что без преувеличения можно считать, что он применяется кв любой электротехнической и радиоэлектронной аппаратуре, использующий зарядовые накопители, то есть конденсаторы.
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики.- М.: Наука, 1988.- Т.2.- С.24-25.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики.- М.: Наука, 1977.- Т.3. Электричество.- С.117-118.
Ключевые слова
- электрический заряд
- точечный заряд
- потенциал
- потенциальная энергия взаимодействия
- полная электрическая энергия
Разделы естественных наук:
Принцип суперпозиции.
Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:
Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции . В соответствии с законом Кулона, напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю:
Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора напряженности зависит от знака заряда Q: если Q больше 0, то вектор напряженности направлен от заряда, если Q меньше 0, то вектор напряженности направлен к заряду. Величина напряжённости зависит от величины заряда, среды, в которой находится заряд, и уменьшается с увеличением расстояния.
Напряженность электрического поля, которую создает заряженная плоскость вблизи своей поверхности:
Итак, если в задаче требуется определить напряженность поля системы зарядов, то надо действовать по следующему алгоритму:
1. Нарисовать рисунок.
2. Изобразить напряженность поля каждого заряда по отдельности в нужной точке. Помните, что напряженность направлена к отрицательному заряду и от положительного заряда.
3. Вычислить каждую из напряжённостей по соответствующей формуле.
4. Сложить вектора напряжённостей геометрически (т.е. векторно).
Потенциальная энергия взаимодействия зарядов.
Электрические заряды взаимодействуют друг с другом и с электрическим полем. Любое взаимодействие описывает потенциальной энергией. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных электрических зарядов рассчитывается по формуле:
Обратите внимание на отсутствие модулей у зарядов. Для разноименных зарядов энергия взаимодействия имеет отрицательное значение. Такая же формула справедлива и для энергии взаимодействия равномерно заряженных сфер и шаров. Как обычно, в этом случае расстояние r измеряется между центрами шаров или сфер. Если же зарядов не два, а больше, то энергию их взаимодействия следует считать так: разбить систему зарядов на все возможные пары, рассчитать энергию взаимодействия каждой пары и просуммировать все энергии для всех пар.
Задачи по данной теме решаются, как и задачи на закон сохранения механической энергии: сначала находится начальная энергия взаимодействия, потом конечная. Если в задаче просят найти работу по перемещению зарядов, то она будет равна разнице между начальной и конечной суммарной энергией взаимодействия зарядов. Энергия взаимодействия так же может переходить в кинетическую энергию или в другие виды энергии. Если тела находятся на очень большом расстоянии, то энергия их взаимодействия полагается равной 0.
Обратите внимание: если в задаче требуется найти минимальное или максимальное расстояние между телами (частицами) при движении, то это условие выполнится в тот момент времени, когда частицы движутся в одну сторону с одинаковой скоростью. Поэтому решение надо начинать с записи закона сохранения импульса, из которого и находится эта одинаковая скорость. А далее следует писать закон сохранения энергии с учетом кинетической энергии частиц во втором случае.
При удалении заряда в бесконечность
r2 = ∞ U=U2 = 0,
потенциальная энергия заряда q2 ,
находящегося в поле заряда q1
на расстоянии r
17. Потенциал. Потенциал поля точечного заряда.
Потенциальная энергия заряда q в поле n зарядов qi
Отношение U/q не зависит от величины заряда q и является энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом .
Потенциал в точке электростатического поля – физическая величина численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Это скалярная величина.
В СИ φ измеряется в Вольтах [В = Дж/Кл]
1 В – потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает энергией 1 Дж.
Е - [Н/Кл = Н·м/Кл·м = (Дж/Кл)·(1/м) = В/м].
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал является более удобной физической величиной по с равнению с напряженностью Е
Потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов. Принцип суперпозиции для потенциалов.
Система точечных зарядов: q1 , q2 , …qn .
Расстояние от каждого заряда до некоторой точки пространства: r1 , r2 , …rn .
Работа, совершаемая над зарядом q электрическим полем остальных зарядов при его перемещении из одной точки в другую, равна алгебраической сумме работ, обусловленных каждым из зарядов в отдельности
ri 1 – расстояние от заряда qi до начального положения заряда q ,
ri 2 – расстояние от заряда qi до конечного положения заряда q .
ri 2 → ∞
Разность потенциалов. Эквипотенциальные поверхности
При перемещении заряда q 0+ в электростатическом поле из точки 1 в точку 2
r2 = ∞ → U 2 = U ∞ = 0
Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.
Когда говорят о потенциале, то имеют ввиду разность потециалов ∆φ между рассматриваемой точкой и точкой, потенциал φ которой принят за 0.
Потенциал φ данной точки физического смысла не имеет, так как нельзя определить работу в данной точке.
Эквипотенциальные поверхности (поверхности равного потенциала)
1) во всех точках потенциал φ имеет одно и то же значение,
2) вектор напряженности электрического поля Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям,
3) ∆φ между двумя любыми эквипотенциальными поверхностями одинакова
– Для точечного заряда
φ = const .
r = const .
Для однородного поля эквипотенциальные поверхности – параллельные линии.
Работа по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.
так как φ 1 = φ 2.
20. Связь вектора напряженности Е иразности потенциалов.
Работа по перемещению заряда в электрическом поле:
Потенциальная энергия электрического поля зависит от координат x , y , z и является функцией U(x,y,z) .
При перемещении заряда:
(x+dx), (y+dy), (z+dz).
Изменение и потенциальной энергии:
Из (1)
|
|||||||
Оператор набла (оператор Гамильтона).
В пределах электростатики невозможно дать ответ на вопрос, где сосредоточена энергия конденсатора. Поля и заряды, их образовавшие, не могут существовать обособленно. Их не разделить. Однако переменные поля могут существовать независимо от возбуждавших их зарядов (излучение солнца, радиоволны, …), и они переносят энергию. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является электростатическое поле .
При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия совершают определенную работу dА . Работа, совершенная системой, определяется убылью энергии взаимодействия -dW зарядов
. | (5.5.1) |
Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся на расстоянии r 12 , численно равна работе по перемещению заряда q 1 в поле неподвижного заряда q 2 из точки с потенциалом в точку с потенциалом :
. | (5.5.2) |
Удобно записать энергию взаимодействия двух зарядов в симметричной форме
. | (5.5.3) |
Для системы из n точечных зарядов (рис. 5.14) в силу принципа суперпозиции для потенциала, в точке нахождения k -го заряда, можно записать:
Здесь φ k , i - потенциал i -го заряда в точке расположения k -го заряда. В сумме исключен потенциал φ k , k , т.е. не учитывается воздействие заряда самого на себя, равное для точечного заряда бесконечности.
Тогда взаимная энергия системы n зарядов равна:
(5.5.4) |
Данная формула справедлива лишь в случае, если расстояние между зарядами заметно превосходит размеры самих зарядов.
Рассчитаем энергию заряженного конденсатора. Конденсатор состоит из двух, первоначально незаряженных, пластин. Будем постепенно отнимать у нижней пластины заряд dq и переносить его на верхнюю пластину (рис. 5.15).
В результате между пластинами возникнет разность потенциалов При переносе каждой порции заряда совершается элементарная работа
Воспользовавшись определением емкости получаем
Общая работа, затраченная на увеличение заряда пластин конденсатора от 0 до q , равна:
Эту энергию можно также записать в виде